Apa sih kalkulus itu? Apa gunanya kalkulus? Dan apa gunanya belajar kalkulus, toh nggak akan dipake dalam kehidupan sehari-hari? Begitu kira-kira pertanyaan banyak mahasiswa yang bertemu kalkulus jaman kuliah. Termasuk saya dulu, haha! Saya tidak punya pengalaman bagus dengan mata kuliah Kalkulus (sekali-kalinya dapat di tahun pertama, dapat D pula!), karena dari awal pun saya tidak mengerti apa itu kalkulus, apa fungsinya, dan kenapa saya, sebagai mahasiswa arsitektur, harus mempelajarinya segala.

Tapi kurang lebih 11 tahun lalu Steven Strogatz, melalui bukunya The Joy of X, mulai membuka mata saya tentang apa itu kalkulus. Dan bukunya yang keempat ini khusus membahas kalkulus, topik yang sangat disukainya karena menurutnya sangat powerful.
How powerful? Mampu membuka rahasia semesta, katanya.

Infinite Powers: How Calculus Reveals the Secrets of the Universe

Steven Strogatz
Houghton Mifflin Harcourt (2019)
389 hal

Galileo pernah mengatakan bahwa “Mathematics is the language in which God has written the universe”, sementara Richard Feynman mengatakan dengan lebih spesifik, “You had better learn calculus, it’s the language God talks.” Dari jaman Yunani kuno para filsuf sudah berpikir betapa anehnya bahwa alam mengikuti pola-pola teratur yang kemudian disebut matematika. Bahkan ketika sains semakin maju, makin banyak temuan makro dan mikro, matematika tetap menjadi ‘penunjuk jalan’. “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences,” kata fisikawan Eugene Wigner. “The eternal mystery of the world is its comprehensibility,” tulis Einstein.

Steven Strogatz menggambarkannya seperti ada kode di alam semesta, suatu sistem operasi yang menggerakkan segala sesuatu dari momen ke momen dan tempat ke tempat, dan kode ini diekspresikan dalam ‘bahasa’ kalkulus berupa ‘kalimat’ yang disebut persamaan diferensial. “Tapi kalkulus, seperti juga bentuk matematika lainnya, bukan hanya sekadar bahasa. Ia juga sistem penalaran dan logika yang sangat powerful, dan dengan menggunakannya kita bisa menemukan rahasia-rahasia semesta…”

Memangnya kalkulus itu sebetulnya apa sih?

Menurut Strogatz, pada intinya kalkulus itu ingin membuat hal sulit jadi mudah. (“Apaa? Bukannya bikin hidup jadi sulit dengan segala rumus dan hitung-hitungannya??” hahaha!). Tapi benar lho! Kata Strogatz, jangan salahin kalkulus kalo tampilannya seperti itu. “Dia tampak rumit karena memang tugasnya memecahkan masalah sulit, termasuk hal-hal tersulit yang pernah dihadapi spesies kita,” tulisnya. Kalkulus melakukannya dalam dua tahap:
1. memotong-motong masalah itu menjadi tak terhingga kecilnya (infinitesimal) dan menghitung perubahan di segmen kecil itu. Proses ini dinamakan kalkulus diferensial.
2. menggabungkan (integrate) kembali semua bagian itu menjadi sesuatu yang utuh. Proses ini dinamakan kalkulus integral.

Kunci dari kalkulus adalah penerapan konsep tak terhingga, atau infinity, meskipun hanya mendekati (potential infinity, bukan completed infinity). Strogatz menyebutnya “The Infinity Principle”, yang pada intinya menjelaskan segala macam bentuk, objek, gerak, proses, atau fenomena yang kontinyu -serumit apapun penampakannya- membayangkannya sebagai rangkaian bagian-bagian kecil dan simpel yang tak terhingga, menganalisa bagian kecil tadi, kemudian menggabungkannya kembali untuk memahaminya secara keseluruhan.

Untuk menjelaskan seperti apa dan bagaimana kalkulus ‘bekerja’, Strogatz membawa pembaca mengarungi sejarah panjang perkembangan matematika dari jaman Yunani kuno yang menjadi cikal bakal kalkulus. Dan karena prinsip kalkulus adalah infinity, maka buku ini dimulai dengan menjelaskan tentang infinity.

Cikal bakal kalkulus dimulai ketika para pemikir Yunani kuno berhadapan dengan lingkaran dan bentuk-bentuk lengkung lain. Ya, kalkulus awalnya muncul dari geometri. Infinity digunakan untuk membangun ‘jembatan’ antara yang melengkung dan yang lurus. Lingkaran kalau dibagi-bagi seperti pizza mendekati infinity, bagian-bagian kecilnya ini jadi berbentuk segitiga dengan alas yang lurus tidak melengkung, dan bisa disusun-susun membentuk persegi panjang sehingga lebih mudah dihitung luasnya.

Archimedes menggunakan teknik seperti ini untuk mencari ‘pi’ lingkaran (rasio antara keliling dan diameter). Ia juga menggunakan metoda yang mirip untuk mencari luas segmen parabola, dan metodanya ini sangat mendekati bagaimana kalkulus ‘modern’ bekerja, sehingga dianggap sebagai cikal bakal kalkulus.

Dan tau nggak sih, metode seperti ini juga lho yang dipakai jaman sekarang untuk membuat animasi 3D, juga untuk merekonstruksi wajah dalam operasi plastik atau arkeologi, dengan menggunakan rangkaian segitiga atau piramida super kecil untuk mendekati kelengkungan permukaannya.

Kalkulus lahir dari penyelidikan 3 misteri: lengkung/kurva, gerak, dan perubahan. Setelah Archimedes menyelidiki misteri lengkung, ribuan tahun kemudian muncul Galileo dan Kepler yang menyelidiki misteri gerak kontinyu benda-benda di bumi dan di langit. Ternyata bentuk-bentuk lengkung yang dipelajari Archimedes ribuan tahun sebelumnya, ada wujudnya di ‘dunia nyata’. Lemparan bola ternyata berbentuk parabola, gerakan planet ternyata berbentuk elips. Alam ternyata menggunakan geometri.

Jaman sekarang kalkulus diajarkan dengan mempelajari diferensial dulu yang lebih mudah, baru integral. Tapi dalam sejarahnya, integral dulu yang ditemukan, baru diferensial. Mengapa? Karena integral muncul dari studi geometri yang sudah dilakukan dari jaman Yunani kuno, sementara diferensial muncul dari studi aljabar yang ‘tumbuh kembang’nya lama, dan butuh ‘bahan-bahan’ dari berbagai penjuru budaya (Cina, Arab, India) hingga datang dan dimatangkan kembali di Eropa abad 13.

Abad 17, studi terpisah dua matematikawan Perancis Pierre de Fermat dan Rene Descartes menghubungkan aljabar dengan geometri, dan menghasilkan cabang matematika baru: geometri analitik, dengan ‘panggung’nya sistem koordinat x-y, di mana persamaan aljabar yang abstrak bisa divisualisasikan menjadi sesuatu yang terlihat bentuknya. Dalam kaitannya dengan kalkulus, Fermat dan Descartes menemukan cara untuk mencari titik maksimum dan garis tangen (/kemiringan) suatu lengkungan. Pemodelan aljabar dalam sistem koordinat ini juga merupakan titik penting dalam ‘penemuan’ kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz. Yang dilakukan Newton dan Leibniz (secara terpisah) adalah generalisasi teknik menghitung laju perubahan dan bagaimana akumulasi perubahan itu.

Bagi Strogatz, kalkulus bukan ‘ditemukan’ oleh Newton dan Leibniz di pertengahan abad 17. Kalkulus lebih merupakan puncak dari 18 abad pemikiran matematika. Kalkulus lebih seperti suatu titik penting dalam evolusi matematika. Seperti ketika dalam sejarah makhluk hidup, 500 juta tahun yang lalu terjadi ‘ledakan’ evolusi organisme multisel. Kalkulus, menurut Strogatz, adalah ‘ledakan Cambrian’ matematika. Setelah kemunculan kalkulus, berbagai cabang matematika berkembang dan berevolusi dengan pesat.

Dari sudut pandang modern, kalkulus bisa dibilang sebagai ‘matematika perubahan’, yang mengukur perubahan melalui konsep derivatif (/turunan, laju perubahan) dan integral. Derivatif menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti ‘secepat apa (gerak suatu objek)’ atau ‘seterjal apa (kemiringan jalan)’. Intinya mengukur perbedaan suatu variabel dependen terhadap variabel independen, diekspresikan dalam bentuk Δy/Δx. Misalnya kecepatan adalah perubahan jarak terhadap waktu. v = Δd/Δt.
Diferensial adalah bentuk infinitesimal dari perubahan ini. dy/dx adalah bentuk infinitesimal dari Δy/Δx.

Integral, dalam hitung-hitungan kalkulus diekspresikan dalam bentuk ‘mencari luas area di bawah kurva’. Buat apa menghitung luas? Karena area di bawah kurva fungsi f(x) itu adalah representasi akumulasi perubahan seiring waktu.

Jika fluktuasi aliran keluar masuknya uang di rekening bank direpresentasikan oleh kurva f(x), maka area di bawah kurva itu merepresentasikan jumlah uangnya seiring waktu. Jika perubahan populasi manusia digambarkan oleh kurva f(X), maka area di bawah kurva itu menggambarkan jumlah manusianya.

Jadi untuk apa menghitung area di bawah kurva f(x)? “Because the future matters,” tulis Strogatz. Dengannya kita bisa memprediksi perubahan di masa depan.

Dengan kalkulus, Newton merumuskan teori-teorinya dan memprediksi gerakan benda-benda langit. Dengan kalkulus, Katherine Johnson menghitung jalur kembalinya pesawat NASA agar jatuh dengan aman ke laut. Dengan kalkulus, Einstein memprediksi adanya blackhole dan gelombang gravitasi, yang terbukti eksistensinya pada tahun 2015. Dengan kalkulus, manusia bisa memprediksi sesuatu yang terjadi milyaran tahun cahaya jauhnya.

“That gravitational wave was the faintest whisper ever heard. That soft little wave had been headed our way from before we were primates, before we were mammals, from a time in our microbial past. When it arrived that day in 2015, because we were listening, and because we knew calculus, we understood what the soft whisper meant,” tulis Strogatz menutup bukunya.

Steven Strogatz makes calculus sound so beautiful 👏👏👏